← Усі шпаргалки
📄 Офіційна довідка НМТ (PDF)
Знайти ціле: 16 — це 20% від ? → 16/0.2 = 80
Знайти відсоток: 16 з 80 = ? → (16/80)·100 = 20%
+20% потім −20% ≠ початок! 1.2·0.8 = 0.96 (−4%)
a−b+c=0 → x1=−1, x2=−c/a.
2. На числовій прямій
3. Визнач знак на кожному інтервалі
4. Обери потрібні
x < −3 або x > 2
loga(1)=0: будь-що в степені 0 = 1.
alogax=x: підносимо і логарифмуємо — нічого не змінюється.
1+tg²α=1/cos²α
1+ctg²α=1/sin²α
cos: 0→1, 30°→√3/2, 45°→√2/2, 60°→½, 90°→0
tg: 0→0, 30°→√3/3, 45°→1, 60°→√3
cos x = a: x = ±arccos(a) + 2πn
tg x = a: x = arctg(a) + πn
π або 2π → функція НЕ змінюється
Знак — визначаєш так, ніби α гострий
S = ½ab·sinC — дві сторони і кут
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — Герон, p=(a+b+c)/2
S = pr — вписане коло
S = abc/4R — описане коло
Прямокутник: S=ab
Ромб: S=ah = ½d1d2
Квадрат: S=a² = ½d²
Трапеція: S=½(a+b)·h
Площа сектора: S=πr²α/360°
Середина: M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
Скалярний добуток: x1x2+y1y2=|a|·|b|·cosα
Корінь: підкореневий ≥ 0
Логарифм: аргумент > 0, основа > 0 і ≠ 1
tg x: x ≠ π/2+πn
∫sin x dx = −cos x+C
∫cos x dx = sin x+C
∫exdx = ex+C
∫1/x dx = ln|x|+C
d = an+1 − an — постійна для всіх пар сусідніх членів.
Знайти a20 = 3 + 4·19 = 79
Знайти d: якщо a3=10, a7=22 → d = (22−10)/(7−3) = 3
Sn = (2a1 + d(n−1))·n/2 — коли знаєш перший і d
Парні від 2 до 50: S = (2+50)·25/2 = 650
q = bn+1/bn — постійне відношення.
Якщо b2=6, b5=48 → q³=48/6=8 → q=2
Нескінченна спадна (|q|<1): S = b1/(1−q)
1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... = 1/(1−0.5) = 2
0.333... = 3/10 + 3/100 + ... = (3/10)/(1−1/10) = 1/3
Додавання: якщо дію можна виконати АБО m, АБО n способами (не одночасно): m + n способів.
Від А до Б — 3 автобуси або 2 поїзди = 3+2 = 5 способів
n! = n · (n−1) · (n−2) · ... · 2 · 1
Скільки 4-значних чисел з цифр 1,2,3,4 (без повторень)? 4! = 24
Команда, делегація, набір — все це комбінації.
C(n,0) = C(n,n) = 1 — один спосіб обрати нічого або все
C(n,1) = n — обрати один з n
Код замка, черга, призові місця — розміщення.
A(9,5) = 9·8·7·6·5 = 15120
n — загальна кількість наслідків (усіх рівноможливих)
Завжди: 0 ≤ P(A) ≤ 1. P = 0 — неможливо, P = 1 — достовірно.
• Монета: P(герб) = 1/2
• В мішку 5 червоних, 3 синіх, 2 білих: P(синя) = 3/10
АБО (хоча б одна): P(A або B) = P(A) + P(B) — для несумісних подій
Протилежна: P(не A) = 1 − P(A)
• Кубик: P(1 або 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• P(хоча б одна шістка з двох кубиків) = 1 − P(обидва НЕ 6) = 1 − (5/6)² = 11/36
Використовуй коли витягують кілька предметів одразу.
Сприятливих: C(5,2) = 10 (обрати 2 білих з 5)
Усіх: C(8,2) = 28 (будь-які 2 з 8)
P = 10/28 = 5/14 ≈ 0.357
C(9,2)/C(12,2) = 36/66 = 6/11
Медіана = середнє значення після впорядкування (якщо парна к-сть — середнє двох центральних)
Мода = значення, що найчастіше повторюється
Розмах = max − min
Впорядкуємо: 3, 4, 7, 7, 7, 9, 10
Середнє = 47/7 ≈ 6.7
Медіана = 7 (4-й елемент з 7)
Мода = 7 (зустрічається 3 рази)
Розмах = 10 − 3 = 7
Дані: 2, 5, 8, 11 → медіана = (5+8)/2 = 6.5
Назустріч: vзближ = v1 + v2
В одному напрямку: vвід = v1 − v2
За течією: vза = vвлас + vтеч
Проти течії: vпроти = vвлас − vтеч
vзб = 60+80 = 140. t = 420/140 = 3 год
Разом: 1/t1 + 1/t2 = 1/tспільне
1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
Разом: 4 години
При змішуванні: кількість речовини зберігається.
Речовини: 200·0.3 + 300·0.1 = 60 + 30 = 90 мл
Об'єм: 200 + 300 = 500 мл
Концентрація: 90/500 = 18%
2. Визнач тип фігури — прямокутний трикутник? паралелограм? вписане коло?
3. Обери формулу — дивись які дані є і підбирай відповідну (див. розділ Геометрія).
4. Шукай прямокутний трикутник — 80% задач НМТ зводяться до нього. Висота, діагональ, радіус — все створює прямокутні трикутники!
5. Перевір відповідь — площа ≥ 0, сторона < діагональ, кут трикутника < 180°.
Площа: S = ½·d1·d2 = ½·6·8 = 24
Сторона: діагоналі ромба перетинаються під 90° і діляться навпіл → прямокутний Δ з катетами 3 і 4 → сторона = √(9+16) = 5
• Проведи діагональ → розбиєш фігуру на трикутники
• Середня лінія = ½ основи — шукай подібність
• Вписаний кут на діаметрі = 90° — працює для кола
• Рівносторонній Δ: h = a√3/2, S = a²√3/4
• Піфагорові трійки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) — запам'ятай, економить час!
«Яка ймовірність?» → P = сприятливі / усі
Порядок НЕ важливий? (команда, набір, делегація) → C(n,k)
Розставити ВСЕ? (всі книжки на полиці) → P(n) = n!
Кілька дій послідовно? → Правило множення
Порядок важливий (різні ролі) → A(10,3) = 10·9·8 = 720
Сприятливих: C(3,2) = 3. Усіх: C(8,2) = 28.
P = 3/28 ≈ 0.107
«P(хоча б 1 шістка з 3 кубиків)?»
P(жодної шістки) = (5/6)³ = 125/216
P(хоча б одна) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0.42
2. Позначити невідоме через x (або x та y).
3. Заповни таблицю (рух: v, t, S; робота: продуктивність, час, робота).
4. Склади рівняння за зв'язком з умови.
5. Розв'яжи і перевір: підстав відповідь в умову!
vзб = 15+5 = 20 км/год
t = 40/20 = 2 години
Перевірка: 15·2 + 5·2 = 30+10 = 40 ✓
За 2 год перший зробив: 2/4 = 1/2 (половину)
Залишилось: 1/2. Разом: 1/4+1/6 = 5/12 за годину
t = (1/2)/(5/12) = 6/5 = 1.2 год = 1 год 12 хв
2. Привести до однієї функції — sin²x = 1−cos²x, tg = sin/cos
3. Якщо бачиш sin·cos → подвійний кут: 2sinx·cosx = sin2x
4. Якщо бачиш sin² або cos² → зниження степеня: cos²x = (1+cos2x)/2
2cos²x = 1 → cos²x = 1/2 → cosx = ±√2/2
Або: 2cos²x−1 = cos2x = 0 → 2x = π/2+πn → x = π/4 + πn/2
π або 2π (парне число π/2) → функція НЕ змінюється
Знак — такий, як у вихідної функції в тій чверті, якби α був гострий.
Приклад: sin(π+α) = −sinα (бо π → не змінюється, III чверть → sin < 0)
2. Область значень (ОЗ) — по осі y, які значення приймає. Дивись вгору і вниз.
3. Нулі функції — точки, де графік перетинає вісь x (тобто y=0).
4. Проміжки зростання/спадання — де графік іде вгору (зліва направо) = зростає.
5. Найбільше/найменше значення — найвища/найнижча точка графіка.
f'(x) > 0 (графік f' вище осі x) → f(x) зростає
f'(x) < 0 (графік f' нижче осі x) → f(x) спадає
f'(x) = 0 і змінює + на − → максимум f(x)
f'(x) = 0 і змінює − на + → мінімум f(x)
Кількість нулів f'(x) = кількість екстремумів f(x)
2 точки: x=2 (max, бо + → −), x=5 (min, бо − → +)
2. Визнач висоту — це перпендикуляр від вершини до основи.
3. Знайди площу основи — це планіметрія (трикутник, квадрат, круг).
4. Підстав у формулу: V = S·h (призма), V = ⅓S·h (піраміда).
Основа: квадрат 6×6, S = 36
Півдіагональ основи: d/2 = 6√2/2 = 3√2
Висота (за Піфагором з бічного ребра та півдіагоналі):
h = √(5² − (3√2)²) = √(25−18) = √7
V = ⅓ · 36 · √7 = 12√7 ≈ 31.7
Паралелепіпед (a,b,c): V=abc, d=√(a²+b²+c²)
Циліндр (r,h): V=πr²h, Sбіч=2πrh, Sповн=2πr(r+h)
Конус (r,h): V=⅓πr²h, l=√(r²+h²), Sбіч=πrl
Куля (r): V=&frac43;πr³, S=4πr²
У правильній піраміді висота падає в центр основи!
Переріз — завжди шукай знайому фігуру (трикутник, трапеція, прямокутник).
Математика НМТ
Усі формули, пояснення, приклади та лайфхаки для НМТ в одному місці
75+
формул
6
розділів
6
стратегій
Алгебра
22 формули
Тригонометрія
8 формул
Геометрія
13 формул
Аналіз
9 формул
Задачі
15 формул
Прокачай
6 стратегій
Степені та корені6
am · an = am+n
база▼
Де використовується
При множенні степенів з однаковою основою — показники додаються.Приклад
2³ · 2² = 25 = 32. Також: x² · x³ = x5am / an = am−n
база▼
Де використовується
При діленні степенів з однаковою основою показники віднімаються.Приклад
57 / 5³ = 54 = 625(am)n = am·n
база▼
Де використовується
Степінь степеня — показники перемножуються.Приклад
(2³)² = 26 = 64. Не плутай з 2³ · 2² = 25!a0 = 1, a−n = 1/an
база▼
Важливо
Будь-яке число (крім 0) в степені 0 = 1. Від'ємний показник — це дріб.Приклади
70 = 1, 3−2 = 1/9, (1/2)−3 = 2³ = 8Лайфхак
Від'ємний показник «перекидає» дріб: (a/b)−n = (b/a)n√(ab) = √a · √b, √(a/b) = √a / √b
база▼
Де використовується
Спрощення коренів, винесення з-під кореня. Працює тільки для a ≥ 0, b > 0.Приклад
√50 = √(25·2) = 5√2. Також: √48 = √(16·3) = 4√3am/n = n√(am)
важливо▼
Де використовується
Зв'язок між дробовими степенями та коренями. Чисельник — степінь, знаменник — корінь.Приклади
82/3 = (3√8)² = 2² = 4. Також: 271/3 = 3√27 = 3Скорочене множення5
(a + b)² = a² + 2ab + b²
🔥 НМТ▼
Де використовується
Розкриття дужок, спрощення виразів. Одна з найчастіших формул на НМТ.Приклад
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4. Запам'ятай: перший², подвоєний добуток, другий².(a − b)² = a² − 2ab + b²
🔥 НМТ▼
Де використовується
Те саме що квадрат суми, але мінус посередині.Приклад
(5 − x)² = 25 − 10x + x²a² − b² = (a − b)(a + b)
🔥 НМТ▼
Де використовується
Найчастіша на НМТ! Розкладання на множники, скорочення дробів.Приклад
4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3)Лайфхак
Бачиш різницю двох чисел в квадраті? Одразу розкладай!a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
рідше▼
Де використовується
Куб суми: перша дужка +, у другій ab з мінусом. Куб різниці: навпаки.Відсотки: p% від a = a · p/100
🔥 НМТ▼
Три типи задач
Знайти %: 20% від 80 = 80 · 0.2 = 16Знайти ціле: 16 — це 20% від ? → 16/0.2 = 80
Знайти відсоток: 16 з 80 = ? → (16/80)·100 = 20%
Лайфхак
Збільшення на p% → ×(1+p/100). Зменшення на p% → ×(1−p/100).+20% потім −20% ≠ початок! 1.2·0.8 = 0.96 (−4%)
Квадратне рівняння4
D = b² − 4ac
🔥 НМТ▼
Що це
Дискримінант. D > 0 → 2 корені, D = 0 → 1, D < 0 → немає.Приклад
x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1 > 0 → два кореніx = (−b ± √D) / 2a
🔥 НМТ▼
Де використовується
Головна формула для коренів будь-якого квадратного рівняння.Приклад
x² − 5x + 6 = 0: x = (5±1)/2 → x1=3, x2=2Вієта: x1+x2 = −b/a, x1·x2 = c/a
🔥 НМТ▼
Де використовується
Швидко знайти корені без дискримінанта.Лайфхак
a+b+c=0 → x1=1, x2=c/a. Перевір: x²−3x+2=0 → x=1, x=2.a−b+c=0 → x1=−1, x2=−c/a.
Метод інтервалів
🔥 НМТ▼
Алгоритм
1. Знайди корені (= 0)2. На числовій прямій
3. Визнач знак на кожному інтервалі
4. Обери потрібні
Приклад
(x−2)(x+3) > 0. Корені: 2, −3. Знаки: (+)(−3)(−)(2)(+)x < −3 або x > 2
Лайфхак
Починай з «+» справа (якщо старший коеф. додатній), чергуй через кожен корінь.Логарифми7
loga(b) = c ⇔ ac = b
означення▼
Що таке логарифм
Логарифм — це показник степеня. «В яку степінь піднести a, щоб отримати b?»Приклади
log2(8)=3, бо 2³=8. log3(1/9)=−2, бо 3−2=1/9loga(xy) = loga(x) + loga(y)
🔥 НМТ▼
Де використовується
Логарифм добутку = сума логарифмів.Приклад
log2(8·4) = log2(8)+log2(4) = 3+2 = 5loga(x/y) = loga(x) − loga(y)
база▼
Де використовується
Логарифм частки = різниця логарифмів.loga(xn) = n · loga(x)
🔥 НМТ▼
Де використовується
Степінь виноситься як множник.Приклад з НМТ
2log6(3)+log6(4) = log6(9·4) = log6(36) = 2loga(a)=1, loga(1)=0, alogax=x
база▼
Простими словами
loga(a)=1: a в першому степені = a.loga(1)=0: будь-що в степені 0 = 1.
alogax=x: підносимо і логарифмуємо — нічого не змінюється.
Перехід основи: loga(b) = logc(b)/logc(a)
важливо▼
Де використовується
Звести логарифми до однієї основи.Приклад
log4(8) = log2(8)/log2(4) = 3/2Наслідок
loga(b) · logb(a) = 1logak(b) = (1/k)·loga(b)
бонус▼
Де використовується
Степінь основи виноситься як 1/k. Часто на НМТ в хитрих задачах.Приклад
log4(8) = log2²(2³) = (3/2)·log2(2) = 3/2Тотожності та формули8
sin²α + cos²α = 1
🔥 НМТ▼
Основна тотожність!
Якщо знаєш sin — знайдеш cos, і навпаки.Приклад
sinα=0.6 → cos²α=1−0.36=0.64 → cosα=±0.8tgα=sinα/cosα, ctgα=cosα/sinα
база▼
Ще тотожності
tgα·ctgα=11+tg²α=1/cos²α
1+ctg²α=1/sin²α
sin 2α = 2sinαcosα
🔥 НМТ▼
Подвійний кут
Бачиш sinα·cosα? Це ½sin2α!cos 2α = cos²α − sin²α
🔥 НМТ▼
Три форми!
= 2cos²α−1 = 1−2sin²α. Вибирай ту, де є потрібна функція.sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
важливо▼
Формула суми/різниці
Для косинуса: cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ (знак протилежний!)Значення: sin/cos для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
🔥 НМТ▼
Таблиця
sin: 0→0, 30°→½, 45°→√2/2, 60°→√3/2, 90°→1cos: 0→1, 30°→√3/2, 45°→√2/2, 60°→½, 90°→0
tg: 0→0, 30°→√3/3, 45°→1, 60°→√3
Як запам'ятати sin
√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — просто корені від 0 до 4!Триг. рівняння: загальні розв'язки
🔥 НМТ▼
Три формули
sin x = a: x = (−1)narcsin(a) + πncos x = a: x = ±arccos(a) + 2πn
tg x = a: x = arctg(a) + πn
Окремі випадки
sin x=0 → x=πn | cos x=0 → x=π/2+πn | sin x=1 → x=π/2+2πnФормули зведення — правило
важливо▼
Як запам'ятати
π/2 або 3π/2 → функція змінюється (sin↔cos, tg↔ctg)π або 2π → функція НЕ змінюється
Знак — визначаєш так, ніби α гострий
Планіметрія8
Піфагор: a² + b² = c²
🔥 НМТ▼
Тільки прямокутний трикутник!
c — гіпотенуза. Піфагорові трійки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17).Тип трикутника
a²+b²=c² → прямокутний | a²+b²>c² → гострокутний | a²+b²<c² → тупокутнийS трикутника: 5 формул
🔥 НМТ▼
Обирай за даними
S = ½ah — основа і висотаS = ½ab·sinC — дві сторони і кут
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — Герон, p=(a+b+c)/2
S = pr — вписане коло
S = abc/4R — описане коло
Т. косинусів: c² = a²+b²−2ab·cosC
🔥 НМТ▼
Коли
2 сторони + кут → третя сторона. Або 3 сторони → кут.Т. синусів: a/sinA = b/sinB = 2R
🔥 НМТ▼
Коли
Сторона + протилежний кут → знайдеш інші. R — описане коло.Площі чотирикутників
🔥 НМТ▼
Усі формули
Паралелограм: S=ah = ab·sinα = ½d1d2·sinφПрямокутник: S=ab
Ромб: S=ah = ½d1d2
Квадрат: S=a² = ½d²
Трапеція: S=½(a+b)·h
Коло: L=2πr, S=πr²
база▼
Повний набір
Довжина дуги: l=πrα/180°Площа сектора: S=πr²α/360°
Кути
Вписаний кут = ½ центрального (та сама дуга). Вписаний на діаметрі = 90°.Подібність: k сторін → k² площ
важливо▼
3 ознаки
За двома кутами | за двома сторонами і кутом | за трьома сторонамиЛайфхак
Середня лінія Δ = ½ основи. Відтинає трикутник з площею = ¼ початкової.Координати: відстань, середина, вектори
🔥 НМТ▼
Формули
Відстань: d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²)Середина: M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
Скалярний добуток: x1x2+y1y2=|a|·|b|·cosα
Лайфхак
Перпендикулярні ⇔ скалярний добуток = 0Стереометрія5
V призми = Sосн·h
🔥 НМТ▼
Де використовується
Для будь-якої призми (паралелепіпед — теж призма!)Приклад
Паралелепіпед 3×4×5: V=60. Діагональ: √(9+16+25)=5√2V піраміди = ⅓Sосн·h
🔥 НМТ▼
Третина від призми!
Часто: правильна 4-кутна піраміда (основа — квадрат).V циліндра = πr²h, V конуса = ⅓πr²h
🔥 НМТ▼
Бічні поверхні
Циліндр: Sбіч=2πrh. Конус: Sбіч=πrl (l — твірна).V кулі = &frac43;πr³, S кулі = 4πr²
🔥 НМТ▼
Лайфхак
S кулі = 4 площі великого круга. V кулі — єдина з &frac43;.Діагональ куба: d = a√3
база▼
Пам'ятка
Паралелепіпед: d=√(a²+b²+c²). У правильній піраміді висота падає в центр основи. Твірна конуса: l=√(r²+h²)Функції4
Лінійна: y = kx + b
база▼
Основне
k > 0 → зростає, k < 0 → спадає. b — перетин з y. Паралельні: k1=k2. Перпендикулярні: k1·k2=−1.Квадратична: y = ax² + bx + c
🔥 НМТ▼
Парабола
a > 0 → вітки вгору, a < 0 → вниз. Вершина: x0=−b/(2a). Найбільше/найменше = y-координата вершини.Показникова y=ax, Логарифмічна y=loga(x)
🔥 НМТ▼
Показникова
ОЗ: y > 0. a > 1 → зростає, 0 < a < 1 → спадає. Проходить через (0,1).Логарифмічна
ОВ: x > 0. a > 1 → зростає, 0 < a < 1 → спадає. Проходить через (1,0).ОДЗ — пастка!
Під логарифмом тільки ДОДАТНЕ число. Основа: a > 0, a ≠ 1.ОДЗ: шпаргалка
🔥 НМТ▼
Що перевіряти
Дріб: знаменник ≠ 0Корінь: підкореневий ≥ 0
Логарифм: аргумент > 0, основа > 0 і ≠ 1
tg x: x ≠ π/2+πn
Похідна та первісна5
(xn)' = n·xn-1, (C)' = 0
🔥 НМТ▼
Приклади
(x³)'=3x², (√x)'=1/(2√x), (1/x)'=−1/x²(sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x
🔥 НМТ▼
Ще похідні
(ex)'=ex, (ax)'=ax·ln a, (ln x)'=1/xЯк запам'ятати
«Косинус злий — дає мінус!»(f·g)'=f'g+fg', (f/g)'=(f'g−fg')/g²
важливо▼
Складна функція
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)Приклад
(sin(3x))'=cos(3x)·3 = 3cos(3x)f'(x0) = кутовий коеф. дотичної
🔥 НМТ▼
Геометричний зміст
Дотична: y = f(x0) + f'(x0)(x−x0)Дослідження
f' > 0 → зростає | f' < 0 → спадає | f'=0 → екстремум (перевір зміну знаку!)Первісна та інтеграл
🔥 НМТ▼
Основні
∫xndx = xn+1/(n+1)+C∫sin x dx = −cos x+C
∫cos x dx = sin x+C
∫exdx = ex+C
∫1/x dx = ln|x|+C
Ньютон-Лейбніц
∫abf(x)dx = F(b)−F(a) — площа під графіком!Прогресії4
АП: an = a1 + d(n−1)
🔥 НМТ▼
Що це
Арифметична прогресія — кожен наступний член відрізняється на d (різниця прогресії).d = an+1 − an — постійна для всіх пар сусідніх членів.
Приклад з НМТ
Прогресія: 3, 7, 11, 15, ... → a1=3, d=4.Знайти a20 = 3 + 4·19 = 79
Знайти d: якщо a3=10, a7=22 → d = (22−10)/(7−3) = 3
Лайфхак
an = (an−1 + an+1)/2 — середнє арифметичне сусідніх. Якщо три числа в АП, середнє = напівсума крайніх.АП: Sn = (a1 + an) · n/2
🔥 НМТ▼
Дві форми
Sn = (a1 + an)·n/2 — коли знаєш перший і останнійSn = (2a1 + d(n−1))·n/2 — коли знаєш перший і d
Класичний приклад
1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1+100)·100/2 = 5050Парні від 2 до 50: S = (2+50)·25/2 = 650
ГП: bn = b1 · qn−1
🔥 НМТ▼
Що це
Геометрична прогресія — кожен наступний множиться на q (знаменник).q = bn+1/bn — постійне відношення.
Приклад з НМТ
3, 6, 12, 24, ... → b1=3, q=2. b5=3·24=48Якщо b2=6, b5=48 → q³=48/6=8 → q=2
Лайфхак
bn² = bn−1·bn+1 — квадрат середнього = добуток крайніх.ГП: Sn = b1(qn−1)/(q−1), S∞ = b1/(1−q)
🔥 НМТ▼
Два випадки
Скінченна: Sn = b1(qn−1)/(q−1), при q ≠ 1Нескінченна спадна (|q|<1): S = b1/(1−q)
Приклади
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 1·(25−1)/(2−1) = 311 + ½ + ¼ + ⅛ + ... = 1/(1−0.5) = 2
0.333... = 3/10 + 3/100 + ... = (3/10)/(1−1/10) = 1/3
Комбінаторика4
Правило множення та додавання
🔥 НМТ▼
Основа комбінаторики
Множення: якщо дію 1 можна виконати m способами, а дію 2 — n способами, то обидві дії разом: m · n способів.Додавання: якщо дію можна виконати АБО m, АБО n способами (не одночасно): m + n способів.
Приклад з НМТ
3 сорочки × 4 штанів × 2 пари взуття = 3·4·2 = 24 вбранняВід А до Б — 3 автобуси або 2 поїзди = 3+2 = 5 способів
P(n) = n! — перестановки
🔥 НМТ▼
Коли використовувати
«Скількома способами розставити ВСІ n елементів у ряд?»n! = n · (n−1) · (n−2) · ... · 2 · 1
Приклади
Розставити 5 книг на полиці: 5! = 120 способівСкільки 4-значних чисел з цифр 1,2,3,4 (без повторень)? 4! = 24
Запам'ятай
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) — комбінації
🔥 НМТ▼
Коли використовувати
Порядок НЕ важливий. «Скількома способами обрати k з n?»Команда, делегація, набір — все це комбінації.
Приклади
Обрати 3 з 10 учнів: C(10,3) = 10!/(3!·7!) = 120C(n,0) = C(n,n) = 1 — один спосіб обрати нічого або все
C(n,1) = n — обрати один з n
Швидкий підрахунок
C(10,3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120. Зверху — k множників починаючи з n, знизу — k!A(n,k) = n!/(n−k)! — розміщення
🔥 НМТ▼
Коли використовувати
Порядок важливий. «Скількома способами вибрати k з n і розставити?»Код замка, черга, призові місця — розміщення.
Приклад з НМТ
5 бігунів з 9 для естафети (кожен на свій етап):A(9,5) = 9·8·7·6·5 = 15120
Зв'язок
A(n,k) = C(n,k) · k! Розміщення = обрати × розставити.Ймовірність4
P(A) = m/n — класична ймовірність
🔥 НМТ▼
Формула
m — кількість сприятливих наслідківn — загальна кількість наслідків (усіх рівноможливих)
Завжди: 0 ≤ P(A) ≤ 1. P = 0 — неможливо, P = 1 — достовірно.
Приклади з НМТ
• Кубик: P(парне) = 3/6 = 1/2• Монета: P(герб) = 1/2
• В мішку 5 червоних, 3 синіх, 2 білих: P(синя) = 3/10
Правила «І» та «АБО»
🔥 НМТ▼
Два головних правила
І (обидві події): P(A і B) = P(A) · P(B) — для незалежних подійАБО (хоча б одна): P(A або B) = P(A) + P(B) — для несумісних подій
Протилежна: P(не A) = 1 − P(A)
Приклади з НМТ
• Два кубики: P(обидва 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36• Кубик: P(1 або 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• P(хоча б одна шістка з двох кубиків) = 1 − P(обидва НЕ 6) = 1 − (5/6)² = 11/36
Лайфхак «від протилежного»
Коли питають «хоча б одна» — рахуй P(жодної) і віднімай від 1. Набагато простіше!Ймовірність через комбінаторику
🔥 НМТ▼
Формула
P = C(сприятливих) / C(усіх)Використовуй коли витягують кілька предметів одразу.
Типова задача НМТ
«В коробці 5 білих та 3 чорних кулі. Витягують 2. Яка ймовірність, що обидві білі?»Сприятливих: C(5,2) = 10 (обрати 2 білих з 5)
Усіх: C(8,2) = 28 (будь-які 2 з 8)
P = 10/28 = 5/14 ≈ 0.357
Ще задача
«З 12 лампочок 3 браковані. Обрати 2. Яка P(обидві справні)?»C(9,2)/C(12,2) = 36/66 = 6/11
Статистика: середнє, медіана, мода, розмах
🔥 НМТ▼
Означення
Середнє арифметичне = сума всіх / кількістьМедіана = середнє значення після впорядкування (якщо парна к-сть — середнє двох центральних)
Мода = значення, що найчастіше повторюється
Розмах = max − min
Приклад з НМТ
Оцінки: 4, 7, 9, 7, 3, 7, 10Впорядкуємо: 3, 4, 7, 7, 7, 9, 10
Середнє = 47/7 ≈ 6.7
Медіана = 7 (4-й елемент з 7)
Мода = 7 (зустрічається 3 рази)
Розмах = 10 − 3 = 7
Пастка на НМТ
Для парної кількості: медіана = середнє двох центральних!Дані: 2, 5, 8, 11 → медіана = (5+8)/2 = 6.5
Текстові задачі3
Задачі на рух: S = v · t
🔥 НМТ▼
Формули
S = v · t — шлях = швидкість × часНазустріч: vзближ = v1 + v2
В одному напрямку: vвід = v1 − v2
За течією: vза = vвлас + vтеч
Проти течії: vпроти = vвлас − vтеч
Типова задача НМТ
«Два потяги вийшли назустріч. Перший 60 км/год, другий 80 км/год. Відстань 420 км. Через скільки зустрінуться?»vзб = 60+80 = 140. t = 420/140 = 3 год
Лайфхак
Завжди малюй схему руху! Відзначай напрямки стрілками, підписуй v і t.Задачі на роботу: A = p · t
🔥 НМТ▼
Принцип
Якщо робітник виконує роботу за t годин, то за 1 годину він робить 1/t частину роботи.Разом: 1/t1 + 1/t2 = 1/tспільне
Типова задача НМТ
«Перший робітник виконає замовлення за 6 годин, другий за 12. За скільки разом?»1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
Разом: 4 години
Лайфхак
Для двох робітників: tспільне = (t1 · t2) / (t1 + t2). Швидше, ніж через дроби!Задачі на суміші та відсотки
🔥 НМТ▼
Принцип
Кількість речовини = об'єм × концентраціяПри змішуванні: кількість речовини зберігається.
Типова задача НМТ
«Змішати 200 мл 30% розчину з 300 мл 10%. Яка концентрація?»Речовини: 200·0.3 + 300·0.1 = 60 + 30 = 90 мл
Об'єм: 200 + 300 = 500 мл
Концентрація: 90/500 = 18%
Якщо додали воду
Вода — це 0% розчин. Якщо випарили воду — речовина не змінюється, а об'єм зменшується.Прокачай застосування6 стратегій
Геометрія: як розв'язувати будь-яку задачу
Покроковий алгоритм + типові прийоми НМТ
▼
5 кроків до розв'язку
1. Намалюй рисунок — навіть якщо є в умові, зроби свій. Підпиши ВСЕ: сторони, кути, висоти, радіуси.2. Визнач тип фігури — прямокутний трикутник? паралелограм? вписане коло?
3. Обери формулу — дивись які дані є і підбирай відповідну (див. розділ Геометрія).
4. Шукай прямокутний трикутник — 80% задач НМТ зводяться до нього. Висота, діагональ, радіус — все створює прямокутні трикутники!
5. Перевір відповідь — площа ≥ 0, сторона < діагональ, кут трикутника < 180°.
Розв'язуємо разом
«У ромбі діагоналі 6 та 8. Знайти площу та сторону.»Площа: S = ½·d1·d2 = ½·6·8 = 24
Сторона: діагоналі ромба перетинаються під 90° і діляться навпіл → прямокутний Δ з катетами 3 і 4 → сторона = √(9+16) = 5
Топ-прийоми НМТ
• Проведи висоту → отримаєш прямокутний трикутник• Проведи діагональ → розбиєш фігуру на трикутники
• Середня лінія = ½ основи — шукай подібність
• Вписаний кут на діаметрі = 90° — працює для кола
• Рівносторонній Δ: h = a√3/2, S = a²√3/4
• Піфагорові трійки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) — запам'ятай, економить час!
Ймовірність та комбінаторика: типові задачі НМТ
Як зрозуміти що використовувати + розв'язки
▼
Крок 1: Визнач що питають
«Скільки способів?» → Комбінаторика (C, A, або P)«Яка ймовірність?» → P = сприятливі / усі
Крок 2: Обери формулу
Порядок важливий? (код замка, черга, перше/друге місце) → A(n,k)Порядок НЕ важливий? (команда, набір, делегація) → C(n,k)
Розставити ВСЕ? (всі книжки на полиці) → P(n) = n!
Кілька дій послідовно? → Правило множення
Задача 1: комбінаторика
«Скількома способами з 10 осіб обрати капітана, заступника та секретаря?»Порядок важливий (різні ролі) → A(10,3) = 10·9·8 = 720
Задача 2: ймовірність
«На полиці 8 книг, з них 3 детективи. Навмання беруть 2. P(обидва детективи)?»Сприятливих: C(3,2) = 3. Усіх: C(8,2) = 28.
P = 3/28 ≈ 0.107
Лайфхак «від протилежного»
Коли питають «хоча б одна» — рахуй P(жодної) і віднімай від 1.«P(хоча б 1 шістка з 3 кубиків)?»
P(жодної шістки) = (5/6)³ = 125/216
P(хоча б одна) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0.42
Текстові задачі: рух, робота, суміші
Алгоритм + розв'язані приклади
▼
Алгоритм для будь-якої задачі
1. Прочитай задачу двічі. Визнач тип: рух? робота? суміш? відсотки?2. Позначити невідоме через x (або x та y).
3. Заповни таблицю (рух: v, t, S; робота: продуктивність, час, робота).
4. Склади рівняння за зв'язком з умови.
5. Розв'яжи і перевір: підстав відповідь в умову!
Задача на рух
«Велосипедист і пішохід вийшли одночасно назустріч. Швидкості 15 та 5 км/год. Відстань 40 км. Через скільки зустрінуться?»vзб = 15+5 = 20 км/год
t = 40/20 = 2 години
Перевірка: 15·2 + 5·2 = 30+10 = 40 ✓
Задача на роботу
«Перший кран наповнює басейн за 4 год, другий за 6 год. Спочатку 2 год працював перший, потім підключили другий. Коли наповниться?»За 2 год перший зробив: 2/4 = 1/2 (половину)
Залишилось: 1/2. Разом: 1/4+1/6 = 5/12 за годину
t = (1/2)/(5/12) = 6/5 = 1.2 год = 1 год 12 хв
Формула для двох робітників
tразом = (t1 · t2) / (t1 + t2). Для 4 та 6: (4·6)/(4+6) = 24/10 = 2.4 год
Тригонометрія: як обрати потрібну формулу
Алгоритм + підводні камені + розв'язок
▼
Покроковий алгоритм
1. Привести до одного аргументу — sin2x → 2sinx·cosx, cos(π−x) → −cosx2. Привести до однієї функції — sin²x = 1−cos²x, tg = sin/cos
3. Якщо бачиш sin·cos → подвійний кут: 2sinx·cosx = sin2x
4. Якщо бачиш sin² або cos² → зниження степеня: cos²x = (1+cos2x)/2
Розв'язуємо разом
«Розв'язати: 2cos²x − 1 = 0»2cos²x = 1 → cos²x = 1/2 → cosx = ±√2/2
Або: 2cos²x−1 = cos2x = 0 → 2x = π/2+πn → x = π/4 + πn/2
Формули зведення — як запам'ятати назавжди
Правило палець: π/2 або 3π/2 (непарне число π/2) → функція змінюється (sin↔cos, tg↔ctg)π або 2π (парне число π/2) → функція НЕ змінюється
Знак — такий, як у вихідної функції в тій чверті, якби α був гострий.
Приклад: sin(π+α) = −sinα (бо π → не змінюється, III чверть → sin < 0)
Графіки та функції: читаємо як профі
Що питають на НМТ + як відповідати за 30 секунд
▼
Топ-5 питань про графік f(x)
1. Область визначення (ОВ) — по осі x, де існує графік. Дивись вліво і вправо.2. Область значень (ОЗ) — по осі y, які значення приймає. Дивись вгору і вниз.
3. Нулі функції — точки, де графік перетинає вісь x (тобто y=0).
4. Проміжки зростання/спадання — де графік іде вгору (зліва направо) = зростає.
5. Найбільше/найменше значення — найвища/найнижча точка графіка.
Графік похідної f'(x) — найхитріше на НМТ!
Дають графік f'(x) і питають про f(x). Запам'ятай:f'(x) > 0 (графік f' вище осі x) → f(x) зростає
f'(x) < 0 (графік f' нижче осі x) → f(x) спадає
f'(x) = 0 і змінює + на − → максимум f(x)
f'(x) = 0 і змінює − на + → мінімум f(x)
Кількість нулів f'(x) = кількість екстремумів f(x)
Типова задача НМТ
«На графіку f'(x): f'(x)=0 при x=2 та x=5. f'(x)>0 на (−∞;2) та (5;+∞), f'(x)<0 на (2;5). Скільки точок екстремуму?»2 точки: x=2 (max, бо + → −), x=5 (min, бо − → +)
Стереометрія: не бійся 3D
Алгоритм + розв'язана задача + типові тіла
▼
4 кроки до розв'язку
1. Намалюй тіло. Позначити ВСІ дані на рисунку.2. Визнач висоту — це перпендикуляр від вершини до основи.
3. Знайди площу основи — це планіметрія (трикутник, квадрат, круг).
4. Підстав у формулу: V = S·h (призма), V = ⅓S·h (піраміда).
Розв'язуємо разом
«Правильна чотирикутна піраміда. Сторона основи 6, бічне ребро 5. Знайти об'єм.»Основа: квадрат 6×6, S = 36
Півдіагональ основи: d/2 = 6√2/2 = 3√2
Висота (за Піфагором з бічного ребра та півдіагоналі):
h = √(5² − (3√2)²) = √(25−18) = √7
V = ⅓ · 36 · √7 = 12√7 ≈ 31.7
Шпаргалка по тілах
Куб (a): V=a³, d=a√3, Sповн=6a²Паралелепіпед (a,b,c): V=abc, d=√(a²+b²+c²)
Циліндр (r,h): V=πr²h, Sбіч=2πrh, Sповн=2πr(r+h)
Конус (r,h): V=⅓πr²h, l=√(r²+h²), Sбіч=πrl
Куля (r): V=&frac43;πr³, S=4πr²
У правильній піраміді висота падає в центр основи!
Переріз — завжди шукай знайому фігуру (трикутник, трапеція, прямокутник).